Question

Um professor ao trabalhar com seus alunos, inventa uma regra para transformar números. A medida que os alunos falam um certo número o professor responde outro. Observe: o aluno fala 3 e o professor responde 8, o aluno fala 5 e o professor
reponde 12, para 10 o professor responde 22, para 11 responde 24, para o 30 responde 62, para o zero responde 2, para o –1 responde zero, para o –5 responde –8, etc..
Expresse numericamente, através de uma tabela, o que o professor faz com os números dos alunos. Expresse graficamente, no plano cartesiano, a mesma situação. Generalize a regra inventada pelo professor para qualquer número inteiro
que o aluno falar.
Observe e discuta as seguintes questões:

a) é permitida, na representação gráfica, a união dos pontos ?
b) a generalização que você encontrou é uma função?
c) se a resposta acima foi afirmativa, qual é o conjunto domínio e o conjunto imagem da função?

Answer 1

Resolução:

O professor fez alguma função, que legal. Vamos lá:

x ------> y = f(x)

3 ----> 8

5 ------> 12

10 -----> 22

11 -------> 24

30 -------> 62

0 ---------> 2 ( pense nesse aqui ) Vamos chamá-lo de 1

-1 ----------> 0

-5 ----------> -8

Pense que cada número falado é "x" e o professor aplica um f(x) para determinar a resposta. Logo, ele jogará o valor x em uma função que ele criou e a imagem desse valor x será a resposta.

Se eu "jogo" o 0 em uma função, eu sumo com as variáveis, veja:

f(x) = 2x+1 ---> f(0) = 2.0+1 = 1

g(x) = (1/x)-12 ---> g(0) = 1/0-12 (nesse caso, nem imagem há, pois a divisão 1/x com x pertencente aos reais é indeterminada, mas basicamente, quando se "joga" um valor x na função, se sobrar algo, será o termo independente que não é variável.

Logo o termo independente da função é 2, como podemos ver no "1". Vamos subtrair o 2 do resultado de cada resposta:

3 ----> 8-2 = 6

5 ------> 12-2 = 10

10 -----> 22-2 = 20

Com essa lógica simples, descobrimos que o professor multiplicava o número dado por 2 e adicionava 2. Matematicamente falando:

f(x) = 2x+2, com x pertencente aos inteiros (x ∈ Z)

E atende a lógica, pois f(0) = 2.0+2 = 2

a) Não, pois x pertence aos inteiros e não aos reais.

b) Sim

c) O domínio de f(x) = 2x+2 são os números inteiros e não há restrições para o polinômio, então: D(f) = Z ou D(f) = {x | x ∈ Z}. O conjunto imagem será dado por Im(f) = {...,-6,-4,-2,2,4,6,8,....}