Question

Um produto cujo valor à vista é R$ 2.000,00 teve sua venda negociada sob a taxa de juros simples de 22,5% ao trimestre, e resultou em três parcelas mensais e iguais, com uma entrada equivalente a 70% do valor de uma parcela. Determine o valor da entrada.

Answer 1

Estamos perante uma situação de equivalência de capitais ..com o "momento zero" como ponto focal


Assim teremos

Valor Presente = [entrada/(1 + i.n₀)] + [P₁/(1 + i . n₁)] + [P₂/(1 + i . n₂)]+ [P₃/(1 + i . n₃)]

como:
 
--> P₁ = P₂ = P₃ ...vamos genericamente designar por apenas P
--> Entrada = 0,7P

Valor Presente = [0,7P/(1 + i.n₀)] + [P/(1 + i . n₁)] + [P/(1 + i . n₂)]+ [P/(1 + i . n₃)]


Onde 

Valor Presente = 2000

P = Parcela a pagar, neste caso a determinar

i = Taxa de juro, neste caso TRIMESTRAL 22,5% ...ou 0,225 (de 22,5/100)
..donde resulta a taxa proporcional mensal de 22,5/3 = 7,5% ...ou 0,075

n = Prazo de atualização de cada parcela, expresso em unidades da taxa, neste caso n₀ = 0/30 = 0 ..n₁ = 30/30 = 1 ..e n₂ = 60/30 = 2 ..n₃ = 90/30 = 3

resolvendo:

 Valor Presente = [0,7P/(1 + i.n₀)] + [P/(1 + i . n₁)] + [P/(1 + i . n₂)]+ [P/(1 + i . n₃)]

2000 =  [0,7P/(1 + 0,075 . 0)] + [P/(1 + 0,075 . 1)] + [P/(1 + 0,075 . 2)] + [P/(1 + 0,075 . 3)]

2000 =  [0,7P/(1 + 0)] + [P/(1 + 0,075)] + [P/(1 + 0,15)] + [P/(1 + 0,25)]

2000 =  [0,7P/(1)] + [P/(1,075)] + [P/(1,15)] + [P/(1,25)]

2000 =  0,7P + [P/(1,075)] + [P/(1,15)] + [P/(1,25)]

2000 - 0,7P = [P/(1,075)] + [P/(1,15)] + [P/(1,25)]

colocando no 2º membro "P" em evidencia

2000 - 0,7P = P[1/(1,075)] + [1/(1,15)] + [1/(1,25)]

.....mmc(1,075 ; 1,15 ; 1,225) = 1,51440625

2000 - 0,7P = P [(1,40875 + 1,316875 + 1,23625)/1,51440625]

2000 - 0,7P = P [(3,961875)/1,51440625]

2000 - 0,7P = P (2,616124)

2000 = 2,616124P + 0,7P

2000 = 3,316124P

2000/3,316124 = P

603,1137 = P <-- Valor de cada parcela R$603,11 (valor aproximado)

..como a entrada = 0,7P ...então:
 
entrada = 0,7 . 603,1137 = 422,1796 = R$422,18 (valor aproximado)


NOTA IMPORTANTE: Pelo menos um dos seus gabaritos está errado!!

...note que o gabarito d) 322,18 deve ter um erro no primeiro digito ..deve ser 422,18


Espero ter ajudado