Question

Um produto cujo valor à vista é R$ 2.000,00 teve sua venda negociada sob a taxa de juros simples de 22,5% ao trimestre, e resultou em três parcelas mensais e iguais, com uma entrada equivalente a 70% do valor de uma parcela. Determine o valor da entrada.

Alternativas:

a)

R$ 421,14.

b)

R$ 310,21.

c)

R$ 366,34.

d)

R$ 322,18.

e)

R$ 689,29.

Answer 1

Olá.

 

Desde já devo afirmar que essa pergunta foi anulada, pois as alternativas não satisfaziam o enunciado.

 

Temos um caso de equivalência capitais.

 

A equivalência de capitais, no regime de juros simples, ocorre quando dois ou mais capitais são colocados numa data só, com uma mesma taxa, para gerar valores iguais.

 

Para calcular, usamos uma fórmula, onde repetimos a fração para cada parcela:

$\mathsf{V=\dfrac{N}{(1+i\times n)}}$,

Onde:

V: “Valor Final”, que no nosso caso será “Valor Presente” (por ser calculado logo de início) e será 2.000.

N: “Número da Parcela a ser paga”. Teremos 3 valores N iguais e um valendo 0,7N (por causa da entrada que vale 70%)

i: Taxa de juros.

n: Quantidade de dias para serem atualizadas as taxas.

 

 

Taxa de Juros

As taxas de juros são de 22,5% por trimestre. Colocando esse valor na forma decimal, teremos:

T: 22,5% = 22,5/100 = 0,225

 

Por mês, o valor será:

M: 0,225/3 = 0,075

 

A taxa que usaremos será de 0,075.

 

 

“Quantidade de dias para serem atualizadas as taxas”

Foi-nos informado que terá uma entrada, em tempo de 0 dias; e também 3 parcelas mensagens.

Assim, teremos 4 valores diferentes pra n, 0, 1, 2, 3, devido aos meses que eles referenciam-se. Teremos:

Entrada = n₀ = 1

Parcela 1 = n₁ = 2

Parcela 2 = n₂ = 2

Parcela 3 = n₃ = 3

 

Aplicando agora na fórmula, teremos:

$\mathsf{V=\dfrac{0,7N}{(1+i\times n_0)}+\dfrac{N}{(1+i\times n_1)}+\dfrac{N}{(1+i\times n_2)}+\dfrac{N}{(1+i\times n_3)}}\\\\\\\mathsf{2.000=\dfrac{0,7N}{(1+0,075\times 0)}+\dfrac{N}{(1+0,075\times 1)}+\dfrac{N}{(1+0,075\times2)}+\dfrac{N}{(1+0,075\times3)}}\\\\\\\mathsf{2.000=\dfrac{0,7N}{(1+0)}+\dfrac{N}{(1+0,075)}+\dfrac{N}{(1+0,150)}+\dfrac{N}{(1+0,225)}}\\\\\\\mathsf{2.000=\dfrac{0,7N}{(1)}+\dfrac{N}{(1,075)}+\dfrac{N}{(1,150)}+\dfrac{N}{(1,225)}}$

 

É possível fatorar, colocando o N em evidência. Teremos:

$\mathsf{2.000=\dfrac{0,7N}{(1)}+\dfrac{N}{(1,075)}+\dfrac{N}{(1,150)}+\dfrac{N}{(1,225)}}\\\\\\\mathsf{2.000=+N\left(\dfrac{0,7}{1}+\dfrac{1}{1,075}+\dfrac{1}{1,150}+\dfrac{1}{1,225}\right)}$

 

Multiplicando os denominadores, teremos:

1 × 1,075 × 1,150 × 1,225=

1,51440625

 

Dividindo os denominadores por 1,51440625 e multiplicando os numeradores pelo resultado da divisão, para formar uma só fração, teremos o desenvolvimento que está em anexo. 

O valor da parcela será de aproximadamente R$603,11.

 

Se a entrada vale 0,7 da parcela, basta multiplica-la por 0,7. Teremos:

603,11 × 0,7 =

422,177

 

A resposta certa é R$422,17. O gabarito está errado, logo a questão está invalidada.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$

Answer 2

i = 7,5% a.m. = 22,5% /3

Trazendo à valor presente:

- a 1a parcela = P/(1+1x0,075)

- a 2a parcela = P/(1+2x0,075)

- a 3a parcela = P/(1+3x0,075)

Somando-se tudo: 2,616124306xP=2000-P*0,7

3,316124306*P=2000

P= 603,11

Mas a entrada é 0,7 deste valor= R$ 422,18