Question

Um problema típico do Cálculo é a determinação da equação da reta tangente a uma função dada. Assim, determine a equação da reta tangente à função y = x2 + 1, no ponto onde x = 1.

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a reta tangente a função pelo ponto de tangencia é:

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf t: y = 2x\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                              $\Large\begin{cases} y = x^{2} + 1\\x = 1\end{cases}$

Para montar a equação da reta tangente devemos utilizar a fórmula "ponto/declividade", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$                $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - y_{T} = m_{t}\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Se o valor da ordenada do ponto "T" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} y_{T} = f(x_{T})\end{gathered}$

E o coeficiente angular da reta tangente é a derivada primeira da função em termos de "x", ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                $\Large\displaystyle\begin{gathered} m_{t} = \left[\frac{\partial}{\partial x}\cdot f(x_{T})\right]\end{gathered}$

Substituindo as equações "II" e "III" em "I", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(IV)\end{gathered}$       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - f(x_{T}) = \left[\frac{\partial}{\partial x}\cdot f(x_{T})\right]\cdot(x - x_{T})\end{gathered}$

Substituindo os dados na equação "IV" e desenvolvendo os cálculos, temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - (1^{2} + 1) = \left[2\cdot1^{1} + 0\right]\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - (1 + 1) = \left[2\cdot1\right]\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2 = 2\cdot(x - 1)\end{gathered}$

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered} y - 2 = 2x - 2\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x - 2 + 2 \end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = 2x\end{gathered}$

✅ Portanto, a reta tangente é:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} t: y = 2x\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$