Um problema no encanamento na EPSJV forma uma goteira no teto de uma sala de aula. Uma primeira gota cai e 90 segundos depois cai uma segunda gota. O problema se intensifica de tal forma que uma terceira gota cai 45 segundos após a queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à metade conforme passa o tempo. Se a situação assim se mantiver, em quanto tempo, aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a goteira se transformará em um fio contínuo de água?
Soluções para a tarefa
Em aproximadamente 180 segundos, ou seja, 3 minutos a goteira se transformará em um fio contínuo de água!
1) Analisando o problema podemos determinar que trata-se de um problema de PG (progressão geométrica). Neste problema temos os intervalos entre gotas de 90, 45, 22.5 segundos e assim por diante. Assim, temos uma PG infinita de razão q = 45/90 = 0,5 e primeiro termo A1 = 90.
2) Para se ter um fio contínuo, O intervalo entre gotas deve ser muito pequeno, ou seja, quase zero. Logo, o n-ésimo intervalo Tn é dado por:
Tn = 90*( 0,5)^(n-1)
3) Vamos calcular os Tn até ficar muito pequeno, lembrando que após a segunda gota o tempo cai pela metade. Assim
T1 = 90
T2 = 45
T3 = 22,5
T4 = 11,25
T5 = 5,625
T6 = 2,8125
T7 = 1,4062
T8 = 0,7031 e assim por diante ...
4) Por fim, teremos o tempo total dado pela soma dos infinitos Tn, mas, se vc perceber, como a razão da PG está entre 0 e 1, com o passar do tempo os Tn ficam muito pequenos, chegando a zero no infinitésimo termo. Assim , teremos a Somatória de PG infinita dada por:
S = (a1)/(1-q)
S = 90/(1-0,5)
S = 90/[0,5]
S = 180 segundos