Question

Um prisma reto cuja área total mede 42 m², tem como base um triângulo isóscele. Neste, a base é igual à altura, sendo esta igual a terça parte da altura h do sólido. Calcule as áreas das faces.

Answer 1

A área total é a soma das áreas dos dois triângulos e dos três retângulos laterais. Um dos retângulos tem a base igual à base dos triângulos e os outros dois têm as bases iguais aos lados iguais dos triângulos.
A = 2bh/2 + bH + 2LH onde:
b = base dos triângulos
h = altura dos trângulos e
H = altura do sólido
L = lados iguais dos triângulos
O triângulo isósceles tem dois lados iguais (L) e neste caso em especial b = h; desta forma podemos simplificar o cálculo de sua área para b²/2. Por Pitágoras podemos deduzir o valor de L em função de b, por que se dividirmos o triângulo isósceles em duas partes iguais iremos formar dois triângulos retângulos em que o cateto menor é b/2 e o cateto maior é b, sendo L a hipotenusa. Então:
L² = (b/2)² + b²
L² = 5b²/4
L = √5b²/4 = √5(b/2)
Também foi dito no enunciado do problema que a altura do triângulo (h) é igual a terça parte da altura do sólido (H), que podemos representar da seguinte forma:
h = H/3 onde H = 3h, como já sabemos que h = b, então a altura do sólido se torna 3b e o seu cálculo de área se torna 3b.
Com todas essas deduções podemos simplificar a fórmula da área para:
A = 2b²/2 + 3b . b + 2√5(b/2).3b
42 = b² + 3b² + 3b²√5
42 = 4b² + 3b²√5
42 = b²(4 + 3√5)
b² = 42/(4 + 3√5)
  b²          42            4 - 3√5        168 - 126√5      168 - 126√5      
----- = ------------- . -------------- = ------------------- = ------------------ = 
             4 + 3√5     4 - 3√5          16 - 9 . 5                -29

  b²       168 - 281,745      -113,745
----- = --------------------- = -------------- = 3,922
                   -29                     -29
  
  b = √3,922 ≈1,4

Com esse valor aproximado é possível calcular as áreas de todas as faces:
Triângulos: A = b²/2 = 1,4²/2 = 0,98 m²
Retângulo menor: A = b . 3b = 1,4 . 3 . 1,4 = 5,88 m²
Retângulos maiores: A = √5(b/2) . 3b = √5 . (1,4/2) . 3 . 1,4
                                  A = 2,236 . 0,7 . 4,2 ≈ 6,57 m²