Question

um prisma hexagonal regular tem todas as arestas congruentes e area total igual a 96(2 rais de 3 +4)cm2. A) quais sao as medidas das arestas desse prisma?
B)Calcule o volume desse prisma.

Answer 1

Todas as arestas do prisma medem 'x' centímetros
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Área da base do prisma:

$A_{base}=A_{hex\'agono}=6\cdot A_{(t.equil\'atero)}=6\cdot\dfrac{x^{2}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3x^{2}\sqrt{3}}{2}~cm^{2}$

Área lateral:

A lateral do prisma é formada por seis retângulos de base 'x' e altura 'x'.

$A_{lateral}=6\cdot A_{ret\^angulo}=6\cdot x\cdot x=6x^{2}~cm^{2}$

Então, a área total do prisma é dada pela área lateral somada à área das duas bases

$A_{total}=A_{lateral}+2\cdot A_{base}=6x^{2}+2\cdot\dfrac{3x^{2}\sqrt{3}}{2}=6x^{2}+3x^{2}\sqrt{3}$

Como a área total do prisma é 96(2√3 + 4) cm²:

$6x^{2}+3x^{2}\sqrt{3}=96\cdot(2\sqrt{3}+4)$

Colocando 3x² em evidência:

$3x^{2}\cdot(2+\sqrt{3})=96\cdot(2\sqrt{3}+4)\\\\\\3x^{2}\cdot(2+\sqrt{3})=96\cdot(2\cdot[\sqrt{3}+2])\\\\3x^{2}\cdot(2+\sqrt{3})=96\cdot2\cdot(2+\sqrt{3})$

Cortando (2 + √3) dos dois lados:

$3x^{2}=96\cdot2\\\\x^{2}=\dfrac{96\cdot2}{3}=32\cdot2=64$

Então:

$x=\sqrt{64}\\\\\boxed{\boxed{x=8}}$
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Achando a área da base do prisma:

$A_{base}=\dfrac{3x^{2}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\cdot64\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\cdot32\sqrt{3}}{1}=96\sqrt{3}~cm^{2}$

A altura do prisma é x cm = 8 cm

Achando o volume do prisma:

$V=A_{base}\cdot h\\\\V=96\sqrt{3}\cdot8\\\\\boxed{\boxed{V=768\sqrt{3}~cm^{3}}}$