Question

Um prédio projetá uma sombra de 40m quando os raios solares formam um angulo de 45° com o solo. A alltura de predio é?

Answer 1

Através das propriedades geométricas conhecidas, sabemos que, a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Sabemos ainda que, quando possuímos um ângulo de 45°, a medida dos dois lados que formam um ângulo reto (90°) entre si é igual e que, um mesmo triângulo sobreposto à diagonal deste primeiro, dará origem a um quadrado. Dito isto, vamos à resolução com os dados informados:

Ângulo dos raios solares com  o solo: 45°

Tamanho da sombra do prédio: 40m (base do triângulo formado)

Resolveremos por meio de trigonometria a fim de utilizarmos mais recursos matemáticos:

$cos \alpha = \frac{cateto adjacente}{hipotenusa}$

$sen \alpha = \frac{cateto oposto}{hipotenusa}$

Iniciando a resolução, vamos achar primeiro a hipotenusa, que corresponde à distância linear dos raios solares entre o topo do prédio e o solo no ângulo de 45°. Como possuímos a medida da sombra projetada (distância da base do prédio até o ponto de incidência dos raios solares) que corresponde ao cateto adjacente, vamos utilizar a fórmula do cosseno:

$cos45= \frac{40m}{x}$ (Fazemos multiplicação cruzada para a resolução)

$cos45 *x=40m$ (Isolamos o x para encontrarmos a medida da hipotenusa)

$x= \frac {40m}{cos45}$

$x= \frac {40m}{0,707106781}$

$x= 56,56854249m$

A hipotenusa possui 56,56854249m.

Com este dado, usamos a fórmula do seno para achar o cateto oposto (que é a altura do prédio):

$sen45= \frac{x}{56,56854249}$ (Multiplicamos cruzado para resolver)

$sen45*56,56854249=x$

$0,707106781*56,56854249=x$

$40m=x$

O cateto oposto tem a medida de 40m. Ou seja, a altura do prédio é de 40m.

Outro método de resolução, seria a utilização da propriedade de formação do quadrado a partir da informação do ângulo de 45°, como descrito no início.

Desta forma, utilizaríamos da fórmula de cálculo da diagonal do quadrado que é:

$D=l* \sqrt{2}$ (A diagonal do quadrado é igual a medida de um dos lados multiplicado por raiz quadrada de 2).

Substituindo, teríamos:

$D=40* \sqrt{2}$

$D=56,56854249m$

Usando ainda a mesma fórmula, acharíamos o outro lado:

$56,56854249=l* \sqrt{2}$ (A raiz de dois está multiplicando e passará para o outro lado dividindo)

$\frac {56,56854249}{\sqrt{2}}=l$

$l=40m$

O resultado retornado também foi de 40 metros.

Bons estudos!