Question

um posto de gasolina aumentou o preço em 8% em maio e em 9% em junho. se a gasolina passou a custar 7,99, quanto era seu preço antes desses aumentos?​

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o preço antes dos aumentos sucessivos era:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf P = R\ \,6,79\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

          $\Large\begin{cases} t' = 8\,\% = 0,08\\t'' = 9\,\% = 0,09\\N_{P} = R\ \,7,99\\P = \:?\end{cases}$

Onde:

      $\Large\begin{cases} t' = Primeira\:taxa\:aumento\\t'' = Segunda\:taxa\:aumento\\N_{P} = Novo\:prec_{\!\!,}o\\P = prec_{\!\!,}o\:antigo\end{cases}$

Sabemos que o novo preço de um produto após sofrer um aumento pode ser dado pela seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} N_{P} = P + Pt_{A}\end{gathered}$

Isolando "P" no primeiro membro da equação "I", temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} N_{P} = P + Pt_{A}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} N_{P} = P\cdot(1 + t_{A})\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \frac{N_{P}}{1 + t_{A}} = P\end{gathered} }$

Invertendo os membros da equação "II" sem  perda alguma de generalidades, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf III\end{gathered}$         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P = \frac{N_{P}}{1 + t _{A}}\end{gathered} }$

Agora, sabemos que a gasolina sofreu dois aumentos sucessivos. Desta forma, temos:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} t_{A} = t_{E}\end{gathered}$

Substituindo "Ta" por "Te" na equação "III", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf IV\end{gathered}$            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P = \frac{N_{P}}{1 + t_{E}}\end{gathered} }$

Sabendo que "Te" é a taxa equivalente a dois aumentos sucessivos, então, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf V\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered} t_{E} = (1 + t')\cdot(1 + t'') - 1\end{gathered}$

Inserindo "V" em "IV", temos:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P = \frac{N_{P}}{1 + \left[(1 + t')\cdot(1 + t'') - 1\right]}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{N_{P}}{1 + (1 + t')\cdot(1 + t'') - 1}\end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{N_{P}}{(1 + t')\cdot(1 + t'')}\end{gathered} }$

Então, chegamos à seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf VI\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P = \frac{N_{P}}{(1 + t')\cdot(1 + t'')}\end{gathered} }$

Substituindo os dados na equação "VI", temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = \frac{7,99}{(1 + 0,08)\cdot(1 + 0,09)}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{7,99}{1,08\cdot1,09}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{7,99}{1,1772}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 6,79\end{gathered}$

✅ Portanto, o preço antes dos aumentos era:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P = R\ \,6,79\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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