Question

Um ponto P(x,y) move-se ao longo da curva plana da equação x^2+4y^2=1, com y>0. Se a abississa x esta variando a uma velocidade dx/dt=sen4t, pode-se afirmar que a aceleração da ordenada y tem por expressão:

Answer 1

$x^2+4y^2 =1$

derivando implicitamente d/dt(x²+4y²) = d/dt 1

vou usar a nomeclatura

$\bmatrix x' = \frac{dx}{dt} \\\\x''= \frac{d^2x}{dt^2} \\\\y' = \frac{dy}{dt} \\\\y''= \frac{d^2y}{dt^2} \end$


temos
$2x*x' + 8y*y' = 0\\\\2*(x*x'+4y*y')=0\\\\\boxed{\boxed{x*x' +4y*y'=0}}$

derivando novamente..agora teremos que usar a regra do produto
$\boxed{(U*V)=U'*V+U*V'}$

então
$\frac{d}{dt} (x*x') = x'* x' + x*x'' = (x')^2 + x*x''\\\\\\ \frac{d}{dt} (4y*y') =(4y')*(y')+ 4y*y'' = 4(y')^2+4y*y''= 4[(y')^2+y*y'']$

a expressão fica
$(x')^2 + x*x'' + 4[(y')^2+y*y''] =0\\\\ 4[(y')^2+y*y''] = -[(x')^2 + x*x''] \\\\ \boxed{\boxed{y''=- \frac{(x')^2+xx''+4(y')^2}{4y} }}$

foi dado que 
$x' = sen(4t) \to x'' =4cos(4t)$


e da primeira derivada tiramos que
$x*x' +y*y'=0\\\\\boxed{\boxed{y' = \frac{-(x*x')}{4y} = \frac{-xsen(4t)}{y}= \frac{-xsen(4t)}{4y} }}$


substituindo tudo

$y''=- \frac{(sen(4t))^2+x(4cos(4t)+4( \frac{-xsen(4t)}{4y} )^2}{4y} \\\\y''= -\left(sen^2(4t)+4xcos(4t)+ \frac{x^2sen^2(4t)}{16 y^2} \right)* \frac{1}{4y} \\\\y'' -\left(sen^2(4t)+4xcos(4t)+ \frac{x^2sen^2(4t)}{16y^2} \right)* \frac{1}{4y} \\\\\\y'' -\left(\frac{16y^2sen^2(4t)+64y^2xcos(4t)+ x^2sen^2(4t)}{16y^2} \right)* \frac{1}{4y}\\\\\\y''=-\left( \frac{4y^2sen^2(4t)+16y^2x+x^2sen^2(4t)}{16y^2}\right) * \frac{1}{y} \\\\y''=-\left( \frac{sen^2(4x)*(4y^2+x^2)+16y^2x}{16y^3} \right)$


$y''=-\left( \frac{sen^2(4x)*(1)+16y^2x}{16y^3} \right)\\\\\\\boxed{\boxed{y''=- \frac{sen^2(4x)+16y^2x}{16y^3} }}$