Question

Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos A(-1,2) e B(1,4). Quais são as coordenadas do ponto P?

Answer 1

Se o ponto P é equidistante (mesma distância) dos pontos A e B, então significa  que a distância A à P é igual a distância B à P, mas não necessariamente P está compreendido no meio entre A e B.

Sendo A(-1,2) e B(1,4) ⇒ P(x,0)

A distância PA é dada por:  (onde é usado o teorema de Pitágoras)

dPA² = (xA - xP)² + (yA - yP)²
dPA² = (-1 - x)² + (2 - 0)²
dPA²= (-1 - x)² + 2²
dPA = √(1 - x)²+4 (i)

Distância PB:

dPB² = (xB - xP)² + (yB - yP)²
dPB² = (1 - x)² + (4 - 0)²
dPB²= (1 - x)² + 4²
dPB = √(1 - x)²+16 (ii)

Igualando (i) à (ii) têm-se que:

√(-1 - x)² + 4 = √(1- x)² + 16
√(-1 - x).(-1 - x)+4 = √(1 - x).(1 - x)+16
√(1 + x + x + x²)+4 = √(1 - x - x + x²) +16
√(1 + 2x + x²)+4 = √(1 - 2x + x²)+16
√(x² + 2x + 5) = √(x² - 2x + 17)

Elevando ambos os lados ao quadrado obtêm-se:

√(x² + 2x + 5)² = √(x² - 2x + 17)²

Ao cancelar os expoentes das raízes com o seu radial:

x² + 2x + 5 = x² - 2x + 17
2x + 5 = -2x + 17
2x + 2x = 17 - 5
4x = 12
x = 12/4
Logo, x = 3  

Portanto as coordenadas do ponto P são x = 3 e y = 0, ou seja, P(3,0).