Question

Um ponto P pertence ao eixo das abscissas e é equidistante dos pontos A(-1, 2) e B (1, 4). Quais são as coordenadas do ponto P ?

Answer 1

Se um ponto $P\left(x_{P},y_{P}\right)$ é equidistante dos pontos $A\left(x_{A},y_{A}\right)$ e $B\left(x_{B},y_{B}\right)$, então $P$ é um ponto da reta mediatriz do segmento $\overline{AB}$.


A reta mediatriz de um segmento é a reta que passa pelo ponto médio $M\left(x_{M},y_{M} \right )$ deste segmento, e é ortogonal a este segmento. (Veja figura anexa: a reta vermelha é a mediatriz do segmento $\overline{AB}$).


Conhecidos o coeficiente angular $m$ do segmento $\overline{AB}$

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$


e as coordenadas do ponto médio $M$ deste segmento

$M\left(x_{M},y_{M} \right )\Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x_{M}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}\\ \\ y_{M}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2} \end{array} \right.$


A equação da mediatriz do segmento $\overline{AB}$ é

$\boxed{y-y_{M}=-\dfrac{1}{m}\cdot \left(x-x_{M} \right )}$

(sujeito a $m\neq 0$)


Para o nosso exemplo, temos

$A\left(-1,2 \right )\\ \\B\left(1,4 \right )\\ \\ \\ m=\dfrac{4-2}{1-\left(-1 \right )}\\ \\ m=\dfrac{2}{2}\\ \\ m=1\\ \\ \\ x_{M}=\dfrac{-1+1}{2}\\ \\ x_{M}=0\\ \\ \\ y_{M}=\dfrac{2+4}{2}\\ \\ y_{M}=3$


A equação da mediatriz é

$y-3 = -\dfrac{1}{1} \cdot \left(x-0 \right )\\ \\ y-3=-x\\ \\ y=-x+3$


O ponto $P$ pertence ao eixo das abscissas. Então $y_{P}=0$. Substituindo na equação da mediatriz

$y_{P}=-x_{P}+3\\ \\ 0=-x_{P}+3\\ \\ x_{P}=3$


O ponto procurado é $P\left(3,0 \right )$.