Question

Um ponto material é levado, a partir do ponto de coordenadas (2;3), quatro unidades para a direita. Sofre, então, um desvio em sua trajetória inicial de 90°; no sentido anti-horário, percorrendo metade do deslocamento anterior. A partir dessa nova posição, sofre novo desvio de 90°, também no sentido anti-horário, e executa novo deslocamento de comprimento igual à metade do anterior. A figura acima ilustra os primeiros movimentos descritos.

Se a sequência de deslocamentos e desvios é executada infinitas vezes, a posição a que chegará a partícula é dada pelas coordenadas:

a) (26/5; 23/5)

b) (5; 22/6)

c) (27/5; 24/5)

d) (26/5; 24/5)

e) (24/5; 23/5)

# pfv demonstrar os cálculos #

Answer 1

Vamos analisar separadamente as coordenadas x e y do ponto por meio de uma soma infinita.

Assim o resultado do somatório abaixo serão as coordenadas finais da partícula.

Posição x:

$2+4-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+\frac{1}{64}-\frac{1}{256}...\\\\2+\frac{4}{1}-\frac{1}{1}+\frac{4}{16}-\frac{1}{16}+\frac{4}{256}-\frac{1}{256}...\\\\2+\frac{3}{1}+\frac{3}{16}+\frac{3}{256}....\\\\2+3*(1+\frac{1}{16}+\frac{1}{16^2}...)$

Aplicando a fórmula da soma de infinita de uma PG:

$S_n = \frac{a_n}{1-q}$

Temos:

$x_f= 2+3*(\frac{1}{1-\frac{1}{16}})\\\\x_f=2+\frac{3}{\frac{15}{16}}\\\\x_f=2+\frac{1}{\frac{5}{16}}\\\\x_f=2+\frac{16}{5}\\\\\boxed{x_f=\frac{26}{5}}$

Fazendo o mesmo para as coordenadas y, temos:

$y_f=3+2-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{32}+\frac{1}{128}-\frac{1}{512}...\\\\y_f=3+\frac{1}{2}(4-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+\frac{1}{64}-\frac{1}{256}...)\\\\y_f=3+\frac{1}{2}(\frac{16}{5})\\\\y_f=3+\frac{8}{5}\\\\\boxed{y_f=\frac{23}{5}}$

Então a resposta é a alternativa A.