Question

Um ponto C da bissetriz dos quadrantes pares é colinear com os ponto A(3,1) e B(-2,-14). Quais são as coordenadas (x,y) de C?

Answer 1

Primeiro, considere os quadrantes pares, eles são o 2º e 4º quadrantes, tais quadrantes possuem coordenadas:
2º Quadrante (-x,y)
4º Quadrante (x,-y)

Agora pense, o ponto C faz parte da bissetriz dos quadrantes pares, isso significa obrigatoriamente que o ponto C possui coordenadas iguais, mas, por serem dos quadrantes pares, possuem sinais opostos, um é o oposto do outro, ou seja, se x fosse -1, y seria 1, e vice-versa. O problema aqui é que você terá que testar os 2 para ver qual realmente é o ponto colinear.
Para determinar x, basta que nós apliquemos os valores de A,B,C, na seguinte matriz que tem o intuito de encontrar o determinante=0.

$det \left[\begin{array}{ccc}xa&ya&1\\xb&yb&1\\xc&yc&1\end{array}\right] = 0$

Aplicamos os valores:

$det \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\-2&-14&1\\x&-x&1\end{array}\right] = 0$

E encontrando x, você obterá o seguinte valor(Utilizei o método de Sarrus para resolver):

20x-40 = 0
20x = 40
x = 40/20
x = 2

Dai você testa (2/-2) e (-2,2) para ver qual o determinante será igual a 0, provando que é colinear. Para um dará certo, e para outro dará um determinante diferente de 0, este você descartará(Você só precisa usar essa mesma matriz acima e substituir onde havia x e -x por 2 e -2).

Fazendo isso você encontrará:
Para ponto C (2/-2) det = 0 (alinhado) (Já é a resposta o resto em baixo é explicação)
Para ponto C (-2/2) det = -80

Se você observar também, poderá deduzir que o ponto (2,-2) está claramente mais perto do ponto A e B, mas dai você terá que imaginar o plano cartesiano e ver que o outro ponto não coincide.

Outra maneira para confirmar é determinar a equação geral da reta, usando apenas os valores de A e B na matriz acima que possui o determinante igual a 0, junto com o ponto C sendo apenas x e y. Com essa matriz determinamos a equação e a aplicamos para verificar se de fato um determinado ponto está alinhado. Observe a representação dessa matriz:

$det \left[\begin{array}{ccc}3&1&1\\-2&-14&1\\x&y&1\end{array}\right] = 0$

Fazendo ela, você obterá a expressão: 15x - 5y - 40 = 0
Agora observe, se você aplicar na expressão o valor de x de A, que é 3, obterá:

$15(3)-5y-40 = 0 45-5y-40 = 0 -5y+5 = 0 -5y = -5 y = 1$

De fato a equação deu certo, agora testaremos se o ponto C(2,-2) está alinhado:

$15(2)-5y-40 = 0 -5y - 40 + 30 = 0 y = -2$

Agora veja o que ocorre se aplicarmos o inverso(provando que o ponto C sendo (-2,2) está errado):

$15(-2)-5y-40 = 0 y = -14$

Ou seja, o único ponto alinhado para x = -2 é y = - 14, que coincidentemente é B, haha.(Também bastava observar isso, que se B tem o x=-2 e seu valor para y é -14, então o ponto C já nem pode ser mais -2,2.)

Logo as coordenadas de C são (2/-2).

Vale um agradecimento + melhor resposta né? :D