Um polinômio pode ser escrito em forma de produto de fatores se, ao realizar esse produto, encontrarmos exatamente o mesmo polinômio que tínhamos anteriormente.
Com base nessas informações, podemos afirmar que o número de fatores do polinômio x⁹ - x que têm expoente natural e base inteira, é igual a:
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
Soluções para a tarefa
Respondido por
3
Colocando x em evidência
x⁹ - x = x(x⁸-1)
Lembrando que a²-b² = (a-b)(a+b) temos
x⁸-1 = (x⁴-1)(x⁴+1)
x⁴-1 = (x²-1)(x²+1)
x²-1 = (x-1)(x+1)
Logo:
x⁹-x = x(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)
Agora sabemos que x²+1 é irredutível nos reais pois possui apenas as raizes ±i. Porém x⁴+1 pode ser fatorado:
x⁴ + 1 = x⁴ +2x² + 1 - 2x²
x⁴ + 1 = (x²+1)² - 2x²
x⁴ + 1 = (x² - x√2 + 1) (x² + x√2 + 1)
Portanto:
x⁹-x = x(x-1)(x+1)(x²+1)(x² - x√2 + 1)(x² + x√2 + 1)
A pergunta está meio confusa, não entendi o que ele esta querendo exatamente. Acho que é pra considerar a fatoração
x⁹-x = x(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)
E conferir que ela tem 5 fatores, qualquer fatoração além disso terá coeficientes irracionais e/ou complexos. Assim seria 5 a resposta...
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