Question

) Um polinômio P(x), quando dividido por x + 2 resulta resto 5 e quando dividido por x - 2
resulta resto 13. Calcule o resto da sua divisão por x^2 - 4.

Answer 1

 Olá Guilherme, boa tarde!

 De acordo com o enunciado, ao dividir P(x) por (x + 2) encontramos resto 5. Isto posto, podemos tirar que $\mathbf{P(- 2) = 5}$. CONDIÇÃO I.

 Inclusive, segundo o enunciado, ao dividir P(x) por (x - 2) encontramos resto 13. Ou seja, $\mathbf{P(2) = 13}$. CONDIÇÃO II.

 Com efeito, devemos determinar o resto da divisão de P(x) por (x² - 4). Mas, disto podemos apenas concluir o maior grau possível desta divisão (que é UM, afinal o grau do divisor é 2). Então, fazemos $\mathbf{r = ax + b}$ e consideramos q(x) o quociente da referida divisão. Segue, $\mathbf{P(x) = (x^2 - 4) \cdot q(x) + r(x)}$.

 Substituindo as condições I e II na equação acima chegamos no sistema abaixo, veja:

$\begin{cases} \mathsf{P(- 2) = (4 - 4) \cdot q(x) + (- 2a + b)} \\ \mathsf{P(2) = (4 - 4) \cdot q(x) + (2a + b)}\end{cases}$

 Resolvendo o pelo método da adição:

$\\ \begin{cases} \mathsf{P(- 2) = 0 \cdot q(- 2) - 2a + b} \\ \mathsf{P(2) = 0 \cdot q(2) + 2a + b}\end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{- 2a + b = P(- 2)} \\ \mathsf{2a + b = P(2)}\end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{- 2a + b = 5} \\ \mathsf{2a + b = 13}\end{cases} \\ -------- \\ \mathsf{- 2a + 2a + b + b = 5 + 13} \\\\ \mathsf{2b = 18} \\\\ \boxed{\mathsf{b = 9}}$

 E,

$\\ \mathsf{2a + b = 13} \\\\ \mathsf{2a + 9 = 13} \\\\ \mathsf{2a = 13 - 9} \\\\ \boxed{\mathsf{a = 2}}$

 Por fim, temos que: $\boxed{\boxed{\mathsf{r = 2x + 9}}}$.