Question

Um polinômio P(x) do terceiro grau possui três raízes
reais, de tal forma que, se forem colocadas em ordem
crescente formam uma progressão aritmética em que a
soma de seus termos é 12. A diferença entre o quadrado
da maior raiz e o quadrado da menor é 160. Sabendo que
o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 2, assinale
o que for correto.

01) Todas as raízes do polinômio são números inteiros
relativos.
02) A divisão do polinômio P(x) por Q(x) = x - 6 é exata.
04) A soma dos coeficientes do polinômio é um número
maior que 500.
08) A soma das raízes do polinômio é solução da equação x² + 14x + 24 = 0.
16) O coeficiente do termo independente de x de P(x) é
maior que 25².

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Um polinômio

P(x) do terceiro grau possui três raízes  reais,

1º = x' - R

2º = x'

3º = x' + R

de tal forma que, se forem colocadas em ordem

crescente formam uma progressão aritmética

em que a soma de seus termos é 12.

(x'- R) + (x') +  (x' + R) = 12

assim

ACHAR o valor de (x'))

x' - R + x'  + x' + R = 12      junta guais

x' + x' + x' - R + R = 12

         3x'        0    = 12

3x' = 12

x' = 4

A diferença entre o quadrado  da maior raiz e o quadrado da menor é 160.

MAIOR = (x' + R)

menor = (x' - R)

(x' + R)² - (x'- R)² = 160

ACHAR o valor de (R))

               (x' + R)² - (x' - R)² = 160

(x' + R)(x' + R) - (x' - R)(x' - R) = 160  FAZ a multiplicação  (passo a passo)

x'(x') + x'(R) + R(x') + R(R) -  [ x'(x') + x'(-R) - R(x') -R(-(-R) = 160

 (x')²    + Rx'  + Rx'  + R²   - [ (x')²     - Rx'   - Rx'     + R²]  = 160

  (x')²            + 2Rx'  + R² - [ (x')²          - 2Rx'         + R²] = 160  olha o sinal

(x')² + 2Rx' + R²                    - (x')²         + 2Rx' - R² junta iguais

(x')² - (x')² + 2Rx' + 2Rx1 + R² - R² = 160

       0               4Rx'            0         = 160

4Rx' = 160                ( por o valor de (x' = 4))

4R(4) = 160

16R = 160

R = 160/16

R = 10

assim as 3 RAIZES

x' = 4

R = 10

1º = x' - R

1º = 4 - 10

1º = - 6

2º = x'

2º = 4

3º = x' + R

3º = 4 + 10

3º = 14

as 3 raizes (- 6, 4 ,14)

Sabendo que  o coeficiente do termo de maior grau de P(x) é 2, assinale

o que for correto.

01) Todas as raízes do polinômio são números inteiros   relativos.

Z = Números INTEIROS  (negativos e positivos)

 Z = {..., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7,...}

VERDADEIRO  3 raizes (-6,4,14)

02) A divisão do polinômio P(x) por Q(x) = x - 6 é exata.

EQUAÇÃO DO 3º grau pela RAIZES

x' = -6

x'' = 4

x''' = 14

FÓRMULA

(x- x')(x - x'')(x - x''') = 0

(x -(-6))(x - 4)(x - 14) = 0  OLHA O SINAL

(x +  6)(x - 4)(x - 14) = 0  faz a multiplicação POR parte ( NÃO ERRAR)

(x + 6)(x(x) + x(-14) - 4(x) - 4(-14) = 0

(x + 6)(x²        - 14x - 4x     + 56 )

(x + 6)(x² - 18x + 56)= 0  fazendo geral

x(x²) + x(-18x) + x(56) + 6(x²) + 6(-18x) + 6(56) = 0

x³        - 18x²     + 56x   + 6x² - 108x + 336 = 0   junta iguais

x³ - 18x² + 6x² + 56x - 108x + 336 = 0

x³ - 12x² - 52x + 336 = 0  equação do 3º grau

assim  

faremos  INVERSO

  x³ - 12x² - 52x + 336       I_____x - 6____

 -x³  + 6x²                                  x² - 6x - 88

  -----------

    0  - 6x² -  52x

         +6x² -   36x

           --------------

             0     -88x + 336

                   + 88x - 528

                    -----------------

                        0   - 192   ( RESTO)    

                   

FALSO      RESTO - 192

04) A soma dos coeficientes do polinômio é um número

maior que 500.

soma coeficientes ---> x=1

x³ - 12x² - 52x + 336

1³ - 12(1)² - 52(1) + 336  > 500

1   - 12(1)    - 52    + 336 > 500

1    - 12      - 52  + 336 > 500

- 12 - 52 + 336 + 1 > 500

- 64  + 337 > 500

273 > 500  FALSO

273 < 500  ( é menor)

 

08) A soma das raízes do polinômio é solução da equação x² + 14x + 24 = 0.

(SOMA da raizes)

x³ - 12x² - 52x + 336 = 0

a = 1

b = - 12

c = - 52

d = 336

SOMA das Raizes  FÓRMULA

x = -b/a

x = -(-12)/1

x =  + 12/1

x = 12

x² + 14x + 24 = 0  fatorando

x² = x.x

24 = 2.12

assim

x² + 14x + 24 = 0

(x + 2)(x + 12) = 0

(x + 2) = 0

x + 2 = 0

x = - 2

e

(x + 12) = 0

x +12 =0

x = - 12

FALSO   a solução são (-2; -12)

16) O coeficiente do termo independente de x de P(x) é

maior que 25².

Um termo independente ou constante é um termo em que não há variáveis.

TERMO INDEPENDENTE = 336

ASSIM

336 > 25²

336 > 25x25

336 > 625    FALSO

336 < 625  ( menor)