Um Polinômio P(x),dividido por X-1,dá resto 2 e,dividido por X+1,dá resto 3.Qual é o resto da divisão de P(x) por (X-1).(X+1)?
Soluções para a tarefa
O polinômio será dividido por um divisor de grau 2. Logo, o resto é no máximo de grau 1. Logo, temos: P(x) = (x – 1).(x + 1).Q(x) + R(x), onde R(x) = ax + b. Utilizando o teorema do resto, temos:
i) Se o resto da divisão de P(x) por (x – 1) é 2, então P(1) = 2;
ii) Se o resto da divisão de P(x) por (x + 1) é 3, então P(-1) = 3.
Substituindo na expressão de P(x), vem:
i) P(1) = (1 – 1).(1 + 1).Q(1) = a(1) + b => 2 = a + b;
ii) P(–1) = (–1 – 1).( – 1 + 1).Q(– 1) = a(– 1) + b => 3 = – a + b;
Resolvendo o sistema, temos: .
O resto da divisão de p(x) por (x - 1)(x + 1) é r(x) = -x/2 + 5/2.
Se p(x) dividido por x - 1 dá resto 2, então é verdade que p(1) = 2.
Da mesma forma, se p(x) dividido por x + 1 dá resto 3, então é verdade que p(-1) = 3.
Observe que o resto da divisão de p(x) por (x - 1)(x + 1) terá grau 1, pois o grau do divisor é 2.
Sendo assim, podemos dizer que o polinômio que representa o resto é r(x) = ax + b.
Dessa forma, temos que: p(x) = (x - 1)(x + 1).q(x) + (ax + b), sendo q(x) o quociente.
Então:
(1 - 1)(1 + 1).q(1) + (a + b) = 2
a + b = 2
e
(-1 - 1)(-1 + 1).q(-1) + (-a + b) = 3
-a + b = 3.
Com as equações encontradas, podemos montar o sistema:
{a + b = 2
{-a + b = 3
Somando as equações:
2b = 5
b = 5/2.
Assim,
a + 5/2 = 2
a = 2 - 5/2
a = -1/2.
Portanto, o resto da divisão é r(x) = -x/2 + 5/2.
Para mais informações sobre polinômios, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/19415546
