Question

Um polinômio é tal que P(1) = 4. O quociente da divisão de P(x) por (x – 1) é dividido por (x – 2) e obtém- se resto 3. Qual o resto da divisão de P(x) por (x – 1).(x – 2)?

Answer 1

Olá!!

 Para solucionar a tarefa, precisamos de: $\mathbf{D = d \cdot q + r}$, onde D é o dividendo, d o divisor, q quociente e r o resto.
 
 Sejam $\mathbf{q_1(x)}$ e $\mathbf{r_1(x)}$ o quociente e o resto da divisão de $\mathbf{P(x)}$ por $\mathbf{(x - 1)}$, respectivamente. Assim,

$\mathbf{P(x) = (x - 1) \cdot q_1(x) + r_1(x) \qquad \qquad (i)}$

 Isto posto, podemos determinar o resto dessa divisão; pois temos P(1) = 4.

$\\ \mathsf{P(x) = (x - 1) \cdot q_1(x) + r_1(x)} \\\\ \mathsf{P(1) = 0 \cdot q_1(x) + r_1(x)} \\\\ \boxed{\mathsf{4 = r_1(x)}}$


 Além disso, de acordo com o enunciado:

$\mathbf{q_1(x) = (x - 2) \cdot q_2(x) + 3 \qquad \qquad (ii)}$


 Substituindo (ii) em (i),

$\\ \mathsf{P(x) = (x - 1) \cdot q_1(x) + r_1(x)} \\\\ \mathsf{P(x) = (x - 1) \cdot \left [ (x - 2) \cdot q_2(x) + 3 \right ] + 4} \\\\ \mathsf{P(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot q_2(x) + (x - 1) \cdot 3 + 4} \\\\ \mathsf{P(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot q_2(x) + 3x - 3 + 4} \\\\ \mathsf{P(x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot q_2(x) + \underbrace{\mathsf{3x + 1}}_{RESTO}}$

 Logo, $\boxed{\boxed{\mathsf{3x + 1}}}$ é o resto procurado!