Question

Um polinômio de terceiro grau tem o seguinte formato:


LaTeX: p(x)=ax^3+bx^2+cx+dp(x)=ax3+bx2+cx+d
O lucro de uma empresa pode ser descrito por um polinômio de grau 3 cujas raízes são: LaTeX: x_1=-1x1=−1, LaTeX: x_2=+1x2=+1 e LaTeX: x_3=+3x3=+3.

Sabendo que o polinômio pode ser descrito por LaTeX: p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)p(x)=(x−x1)(x−x2)(x−x3),

determine os valores de LaTeX: a,\,\,b,\,\,c\,\text{ e }\,da,b,c e d:

Answer 1

O polinômio de terceiro grau possui quatro coeficientes a, b, c e d. Sabemos que as três raízes deste problema são -1, 1 e 3 e que todo polinômio de terceiro grau pode ser escrito da forma:
$p(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$


Substituindo x1, x2 e x3, temos:
$p(x)=(x-(-1))(x-1)(x-3) \\ \\ p(x)=(x+1)(x-1)(x-3)$


Expandindo os fatores, temos:
$p(x)=(x+1)(x-1)(x-3) \\ \\ p(x)=(x^2-1)(x-3) \\ \\ p(x)=x^3-3x^2-x+3$


Comparando o resultado com o polinômio geral do terceiro grau, temos que:
a = 1
b = -3
c = -1
d = 3