Question

um poligono tem 20 diagonais. determine a medida, em graus, de um de seus angulos internos

Answer 1

Bom dia Amelgika!

Para encontramos o angulo interno de um polígono,vamos ter que saber qual é o numero de lado desse polígono.

Dados do problema.

$Diagonal=10$

Vamos substituir o valor da diagonal nessa formula para determinar o numero de lados do polígono.

$Diagonal=10$

$d= \frac{n(n-3)}{2}$

$20= \frac{n(n-3)}{2}$

Multiplicando resulta.

$40= n ^{2} -3n$

Organizando os termos semelhantes.

$n^{2}-3n-40=0$

Encontramos uma equação do segundo grau,resolvendo a equação os resultado das raízes vai nos informar o tipo de polígonos que estamos procurando.

Para isso vamos fazer uso da formula de Bhaskara.

$n= \frac{-b\pm \sqrt{(b) ^{2}-4.a.c } }{2.a}$

$n^{2}-3n-40=0$

Vamos separa os coeficientes da equação para substituirmos na formula de Bhaskara.

Coeficientes.
$a=1$
$b=-3$
$c=-40$

Substituindo fica assim.

$n= \frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3) ^{2}-4.1.(-40) } }{2.1}$

$n= \frac{3\pm \sqrt{9 +160 } }{2.1}$

$n= \frac{3\pm \sqrt{169 } }{2}$

$n= \frac{3\pm 13}{2}$

$n_{1} = \frac{3 +13}{2}= \frac{16}{2} \Rightarrow n_ {1}=8$


$n_{2} = \frac{3 -13}{2}= \frac{-10}{2} \Rightarrow n_ {2}=-5$

Éssa alternativa de n2=-5 não serve,pois não existe polígono de lado negativo.

Então o que nos interessa é n1=8,logo o nosso polígono  tem 8 lados é um octógono.

Vamos agora achar seu angulo interno,com mais essa formula.

$ai= \frac{(n-2).180^0}{n}$

$n=8$

Substituindo fica assim.

$ai= \frac{(8-2).180^0}{8}$

$ai= \frac{(6).180^0}{8}$

$ai= \frac{1080^0}{8}$

$ai= 135^o$

$\boxed{ Resposta: O~ poligono~ tem~ um~ angulo~interno ~de ~135^0 graus.}$

Bom dia!
Bons estudos!