um poligono regular tem 20 diagonais. Determine a medida em graus, de um de seus ângulos
Soluções para a tarefa
Resposta:
135°
Explicação passo-a-passo:
d= n. (n-3)/2
20= n. (n-3)/2
20= (n² -3n)/2
40= n² - 3n
n² -3n -40 =0
S=3 P=-40
logo, as raízes serão -5 e 8.
como se trata dos vértices ou lados de uma figura espacial, devemos excluir as raízes negativas, assim o polígono mencionado possui 8 vértices, logo se trata de um octaedro.
Si= (n-2). 180
Si= 6. 180
Si= 1080°
Ai= Si/n ,logo temos
Ai= 1080/8
Ai= 135°
Si= Soma dos ângulos internos de um polígono regular.
Ai= Ângulo interno de um polígono regular.
Essa é a maneira mais possível de ver o problema. Outra forma seria você notas que um octaedro regular pode ser dividido em 8 triângulos iguais e a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180° , excluindo o ângulo central de cada triângulo, que também equivale a um arco de 360° teremos que: (8. 180) - 360= 1080. Esta é a soma dos ângulos internos do polígono, dividindo pelo n° de polígonos temos os 135°.
A última maneira porém a mais simples é a seguinte.
Estude os triângulos formados dentro deste polígono. Escolhendo um qualquer percebemos que se trata de um triângulo isósceles com os ângulos das bases iguais. Assim temos que o ângulo central equivale a 360°/8 =45°, daí temos que a soma dos ângulos das bases equivale a 135°e veja que cada ângulo das bases tomados dois a dois, dos em triângulo "vizinhos", formam um ângulo do polígono regular. Sendo assim o ângulo em questão mede 135°.