Question

Um polígono regular de 170 diagonais possui:

a) 17 LADOS
b) 18 LADOS
c) 19 LADOS
d) 20 LADOS
e) 21 LADOS

Answer 1

Uma diagonal, em um polígono convexo, é uma linha que liga um vértice a outro que: 
- Não seja ele mesmo; e 
- Não seja um de seus DOIS vizinhos imediatos. 
Além disso, em polígonos convexos temos que o número de vértices é exatamente igual ao de número de lados. 
Assim sendo, calcular o número de lados ou o número de vértices do polígono em questão dá na mesma. 
Procedendo então ao cálculo do número de vértices: 
Cada vértice é responsável, conforme as duas primeiras informações, por uma quantidade de diagonais igual ao número de vértices do polígono menos 3 (o ponto não pode ser ligado a si mesmo - menos uma diagonal a contar - e não pode ser ligado a seus dois vizinhos imediatos - menos duas diagonais, o que dá menos 3 diagonais em relação ao número de vértices). 
Mas a simples multiplicação n*(n-3) contará cada diagonal duas vezes, uma por cada um dos vértices que a delimitam. 
Logo, a fórmula para se obter o número de diagonais em função do número de vértices é: 
d = n*(n-3)/2 
Sendo d conhecido (fornecido pelo enunciado da questão) e igual a 170, ficamos com uma equação do segundo grau para a determinação do número de vértices: 
170 = n*(n-3)/2 => n^2 -3n -340 = 0 
Aplicando-se a fórmula de Bhaskara: 
n = (-(-3) +- raiz quadrada de ((-3)^2 - 4*1*340))/2 
Assim, n = -17 (não faz sentido físico) ou n = 20. 

Sendo 20 o número de vértices, é igualmente igual a 20 o número de lados. 

Answer 2

Resposta:

d) 20 lados.

Explicação passo-a-passo:

(geekie)

Como o número de lados de um polígono é dado por:

$D=\frac{n\left(n-3\right)}{2}$

então:

$170=\frac{n\left(n-3\right)}{2}$

$340=n\left(n-3\right)$

$n^2-3n=340$

$n^2-3n-340=0$

Resolvendo por "soma e produto", teremos que a soma das respostas será:

$n_1+n_2=3$

e o produto das respostas será:

$n_1\cdot n_2=-340$

De onde podemos concluir que as raízes serão $n_1=20$ e $n_2=-17$.

Como o número de lados não pode ser um número negativo, temos que $n=20$.