Um polígono regular com exatamente 35 diagonais, tem quantos lados?
Soluções para a tarefa
a fórmula para se calcular o nº de diagonais é:
D = n ( n - 3 )/2
35*2 = n( n - 3)
70 = n² - 3n
n² - 3n - 70 = 0
Δ = b² - 4*a*c
Δ = 9 -4*70*- 3
Δ = 9 + 280
Δ = 289
√Δ = 17
x' = - b + √Δ/2*a
x' = -(-3) + 17/2
x' = 3 + 17 /2
x' = 10
Como x" vai dar negativo ficamos com x'
Esse polígono tem 10 lados
bons estudos
Boa noite, Isabelle! Segue a resposta, com alguma explicação.
(I)Interpretação do problema:
a)número de diagonais (D): 35;
b)número de lados (n): ?
(II)Aplicação das informações acima na expressão matemática que indica o número de diagonais de um polígono regular:
D = n . (n - 3) / 2 =>
35 = n . (n - 3) / 2 (Aplicando a propriedade distributiva no segundo membro (lado) da equação.)
35 = (n² - 3n) / 2 (Passando 2, que está no denominador, ao primeiro membro, de modo que multiplicará o termo ali já existente.)
35 . 2 = n² - 3n =>
n² - 3n - 70 = 0
Coeficientes da equação do segundo grau: a = 1, b = (-3), c = (-70)
(III)Cálculo do discriminante utilizando-se dos coeficientes:
Δ = b² - 4 . a . c = (-3)² - 4 . 1 . (-70) =>
Δ = 9 + 280 = 289
(IV)Aplicação dos coeficientes e do discriminante na fórmula de Bhaskara:
n = -b +- √Δ / 2 . a = -(-3) +- √289 / 2 . 1 =>
n = 3 +- 17 / 2 =>
n' = 3 + 17 / 2 = 20/2 => n' = 10
n'' = 3 - 17 / 2 = -14/2 => n'' = -7 (não convém)
Das soluções encontradas, apenas n=10 deve ser considerada, pois -7 não se aplica à medida de lado (não pode assumir valor negativo).
Resposta: O polígono regular com 35 diagonais possui 10 lados. Trata-se, portanto, do decágono regular.
Demonstração de que a resposta está correta
-Substituindo n=10 na fórmula da diagonal:
D = n . (n - 3) / 2 => 35 = 10 . (10 - 3) / 2 =
35 = 10 . 7 / 2 => 35 = 70 / 2 => 35 = 35
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!