Question

Um polígono possui 20 diagonais. Qual é o número de lados desse polígono?

a) 5 lados
b) 6 lados
c) 7 lados
d) 8 lados
e) 9 lados​

Answer 1

A fórmula usada para determinar o número de diagonais do polígono é:

$\large \text{ \sf{ d = \dfrac{n(n - 3)}{2} } }$

Substituindo o número de diagonais d e fazendo os cálculos possíveis, teremos:

$\large \text{ \sf{20 = \dfrac{n {}^{2} - 3n }{2} } }$

$\large \text{ \sf{2 \cdot20 = n {}^{2} - 3n } }$

$\large \text{ \sf{ 40 = n {}^{2} - 3n } }$

$\large \text{ \sf{ 0 = n {}^{2} - 3n - 40} }$

Resolvendo essa equação do segundo grau, encontraremos o número de lados do polígono. A saber, os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = - 3 e c = - 40. O discriminante dessa equação é:

$\large \text{ \sf{ \Delta = b {}^{2} - 4 \cdot{a} \cdot{c}} }$

$\large \text{ \sf{ \Delta = (- 3){}^{2} - 4 \cdot1 \cdot( - 40) } }$

$\large \sf{ \Delta = 9 + 160}$

$\large \sf{ \Delta = 169}$

Usando a fórmula de Bháskara, teremos:

$\large \text{ \sf{ x = \dfrac{ - b \pm \sqrt{\Delta} }{2 \cdot{a}} } }$

$\large \text{ \sf{x = \dfrac{ - ( - 3) \pm \sqrt{169} }{2 \cdot{a}} } }$

$\large \text{ \sf{ x = \dfrac{3 \pm13}{2} \begin{cases} \sf x_1 = \dfrac{3 + 13}{2} = \dfrac{16}{2} = 8 \\ \\ \sf x_2 = \dfrac{3 - 13}{2} = \dfrac{ - 10}{2} = - 5\end{cases} } }$

Como não é possível que um polígono possua -5 lados, o polígono com 20 diagonais possui 8 lados.

$\huge\boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf \dagger \red{ \maltese}~ \blue{alternativa~D}}}}}$