Question

Um polígono convexo tem 5 lados a mais do que o outro. Sabendo que o número total de
diagonais vale 68, determine o número de lados de cada polígono.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Danny, que a resolução é simples.

Antes note que para encontrar o número de diagonais (d) de um polígono convexo, você utiliza a seguinte fórmula:

d = n*(n-3)/2 , em que "d' é o número de diagonais e "n" é o número de lados.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se um polígono tem 5 lados a mais do que o outro, então se chamarmos de "n" o número de lados do primeiro polígono, então chamaremos de "n+5" o número de lados do outro, ou seja, do polígono que tem 5 lados a mais.
Então teremos o seguinte número de lados para os dois polígonos:

1º polígono: "n" lados.
2º polígono: "n+5" lados.

ii) Agora vamos para o número total de diagonais dos dois polígonos. Como já sabemos que os dois têm, juntos, 68 diagonais, então o número de diagonais do 1º polígono MAIS o número de diagonais do 2º polígono deverá ser igual a "68". Então é só aplicar a fórmula do número de diagonais de um polígono, que já vimos antes e que é esta: d = n*(n-3)/2 ----- Assim, fazendo isso para os dois polígonos (para o que tem "n" lados e para o que tem "n+5" lados), teremos:

n*(n-3)/2 + (n+5)*(n+5-3)/2 = 68 ----- desenvolvendo, teremos:
n*(n-3)/2 + (n+5)*(n+2)/2 = 68 ----- efetuando os produtos indicados, temos:
(n²-3n)/2 + (n²+7n+10)/2 = 68 ---- como o denominador é comum, então poderemos fazer isto:

((n² - 3n) + (n²+7n+10))/2 = 68 ---- retirando-se os segundos parênteses, teremos:
(n² - 3n + n² + 7n + 10)/2 = 68 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
(2n² + 4n + 10)/2 = 68 ----- multiplicando-se em cruz, temos:
2n² + 4n + 10 = 2*68
2n² + 4n + 10 = 136 ---- vamos passar "136" para o 1º membro, ficando:
2n² + 4n + 10 - 136 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficamos:
2n² + 4n - 126 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos apenas com:

n² + 2n - 63 = 0 ------- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

n' = - 9 <--- raiz descartada, pois o número de lados não é negativo.
n'' = 7 <--- raiz válida.

Logo, o polígono que tem "n" lados terá 7 lados e o polígono que tem "5" lados a mais terá: 7+5 = 12 lados.
Assim, teremos que os dois polígonos terão os seguintes números de lados:

7 lados e 12 lados <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.