Question

Um polígono com n lados tem n vértices. Observe que de cada vértice do polígono não partem diagonais para os dois "vértices vizinhos", pois são lados do polígono nem para o próprio vértice. Assim, de cada vértice partem n -3 diagonais. Escreva uma fórmula que permita obter o número d de diagonais um polígono convexo em função do número n de lados (ou vértices fecha parentes.

Answer 1

O número de diagonais um polígono convexo em função do número de lados é d = n(n-3)/2.

Suponha um pentágono de vértices A, B, C, D e E nesta ordem. Sabemos que os vértices vizinhos de A são B e E, logo as diagonais de A vão para C e D apenas, o mesmo acontece para os demais vértices.

De cada vértice sai apenas duas diagonais, logo um polígono de n lados possui n-3 diagonais para cada lado. O número de diagonais totais será dado pelo número de vértices vezes o número de diagonais por vértice, ou seja:

d = n(n-3)

Note que a diagonal AC que sai de A é a mesma que a diagonal CA que sai de C, logo, devemos dividir o número de diagonais obtidas por 2. Logo, a expressão fica:

d = n(n-3)/2