Question

Um poliedro possui somente faces pentagonais e hexagonais, em um total de 32 faces e 60 vértices. O numero de diagonais desse poliedro é: a) 1.770. b) 1.350. c) 1.270. d) 1.820. e) 1.440.

Answer 1

Resposta E

O raciocínio é o seguinte:

vc acha o número de arestas por:

V+F = A+2

A=90

sendo p o número de pentágonos e h o número de hexágonos:

5p+6h= 2A

5p+6h = 180

porque o pentágono tem 5 arestas e o hexágono 6, mas como tá uma grudadinha na outra é como se vc contasse cada aresta duas vezes quando soma as arestas de todas as faces separadamente.

voce sabe do enunciado que o número de faces totais (p+h) é 32

p+h =32

então vc resolve o seguinte sisteminha e acha o valor de p e h:

p+h=32

5p+6h=180

vc deve achar:

h=20

p=12

Agora a parte difícil: determinar as diagonais.

O número de diagonais é igual ao número total de pares de vértices (a cada dois vértices ou "pontas" passa um segmento de reta), mas você precisa subtrair disso:

-o numero total de arestas

-o número de diagonais das faces

vou dizer como se acha esses números no final, mas eles são 90 e 240

o número de pares de vértices é:

$\frac{v!}{2! \times (v - 2)!} = \frac{60 \times 59}{2}$

que é 1770

agora basta subtrair 90 e 240 desse valor:

1770-90-240=1440

ACHANDO O TAL DO 240---------------

esse número 240 representa as diagonais internas de cada face. Se uma face tem N lados, as diagonais são dadas pela fórmula:

$\frac{n(n - 3)}{2}$

substituindo n por 5 (pentágono) vc obtem 5 diagonais internas pra cada pentágono, e substituindo por 6 vc obtém 9 diagonais internas pra cada hexágono

então como são 20 hexagonos e 12 pentágonos (do sisteminha)

o número de diagonais total das faces que vc n pode contar é:

20*9+12*5

180+60

240

e o número de arestas a gente achou no começo (90)