Question

Um poliedro platônico, cujas faces são triangulares, tem 30 arestas. Quantas arestas que concorrem em cada vertice?

Answer 1

A= 30
F= F3

2 . A  = 3 . F3
60 = 3 F3
F3 = 20
F = 20

V - A + F = 2
V - 30 + 20 = 2
V = 12

V= Vp = 12
p . Vp = 2 . A
12p = 60
p = 5

Answer 2

Considerando as relações entre as quantidades de arestas, faces e vértices do poliedro, temos que, cada vértice possui 5 arestas.

Poliedro platônico

Um poliedro platônico satisfaz a relação dada pela característica de Euler:

V + F - A = 2

Onde V é a quantidade de vértices, F a quantidade de faces e A a de arestas.

Como as faces do poliedro dado são triangulares, temos que, a cada face temos e arestas, como cada aresta pertence a 2 faces distintas, podemos escrever:

3*F = 2*A

Como a quantidade de arestas é 30, obtemos que a quantidade de faces é 20, pois:

3*F = 60

F = 20

Substituindo os valores de A e de F na característica de Euler, temos que, a quantidade de vértices é 12, de fato:

V = 2 + A - F

V = 2 + 30 - 20

V = 12

Temos 30 arestas e 12 vértice, logo, em cada vértice temos 30/12 = 5 arestas.

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