Question

Um poliedro convexo tem algumas faces triangulares, outras pentagonais e duas hexagonais. Sabendo que esse poliedro tem 17 vértices e 27 arestas, determine a número de faces de cada tipo.

Answer 1

Resposta: Olá! O raciocínio é meio longo mas não é difícil. Veja se consegue entender.

Explicação passo-a-passo:

Temos que saber que a relação de Euler diz que o número de arestas A= Soma da qtde de faces x qtde de lados dessa face / 2

Essa relação também diz que o número de vértices + número de faces = número de arestas + 2 (macete: Vamos Fazer Amor a 2)

V+F=A+2

O exercício diz que o poliedro tem x faces triangulares, y faces pentagonais e 2 faces hexagonais

Vamos chamar o total de faces de F.

X + Y + 2 = F (total de faces)

Assim, temos: X.3 (x faces triangulares) +

Y.5 (Y faces pentagonais) + 2.6 / 2 = 27 (número de arestas que o enunciado fornece).

Observe que com isso caímos num sistema:

(I) X+Y+2 = F

(II) 3X + 5Y = 42

Em (I), isolamos o X. Fica então X= F-y-2

Substituindo o X na equação (II), fica:

3 (f-y-2) + 5y= 42 ——> 3F + 2Y = 48

Substituindo na relação de Euler lá em cima (V+F=A+2), fica 17 + 48-2y/3=27+2

Resolvendo, fica: 99-2y=87 —->2y=12 —-> Y= 6

Achamos que o número de faces pentagonais é 6.

Substituir agora para achar o total de faces F:

F=48-2y/3

F= 48-2.6/3

F= 12

Substituir para achar o x:

x=F-y-2

x= 12-6-2

x=4

Assim, o gabarito é: 4 e 6

4 faces triangulares, 6 faces pentagonais e 2 faces hexagonais, totalizando 12 faces.

Espero ter ajudado ;)