Um poliedro convexo tem 4 faces, heptagonais e algumas faces octogonais. Sabendo que o número de arestas é o sêxtuplo do número de faces octogonais, determine o número de faces e o número de arestas deste poliedro.
Soluções para a tarefa
Bom, de forma genérica, o número de arestas (A) de um poliedro convexo pode ser calculador por:
A = (n*F)/2
onde n é o número de lados de cada face e F é o número de faces.
Como o poliedro é constituído por 2 polígonos distintos (heptágonos e octógonos), temos que expandir a fórmula, da seguinte maneira:
A = [ (n1*F1 + n2*F2) ] / 2
Para o heptágono, n1 = 7 e F1 = 4
Para o octógono, n2 = 8 e F2 = x
Onde chamamos de x o número de faces octogonais, que não sabemos quantas são. Substituindo os valores na fórmula, ficamos com:
A = [ (7*4) + 8x ] / 2
A = (28 + 8x) / 2
Agora perceba que o total de faces será dado por F1 + F2, isto é, por (4+x).
Como foi dito que "o número de arestas é o sêxtuplo do número de faces octogonais", segue que:
(28 + 8x) / 2 = 6 * x (onde x é o número de faces octogonais)
(28+8x) = 12x
4x = 28
x = 7
Logo, temos 7 faces octogonais, o que implica que há um total de 11 faces.
Como A = (28 + 8x) / 2, substituindo x por 7, temos:
A = (28 + 56)/2
A = 84/2
A = 42 arestas.