Question

Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais, pentagonais. 20 pontos
Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces
pentagonais, então o número de arestas e o número de vértices desse
poliedro, são respectivamente, iguais a
a) 108 e 62
b) 108 e 60
C) 216 e 62
d) 216 e 60
e) 108 e 63

Answer 1

Resposta:

a) 108 e 62

Explicação passo-a-passo:

Usando a fórmula de Euller e as relações métricas nos poliedros;

V + F = 2 + A (total de vértices + total de faces = total de arestas + 2)

nF/2 = A (Número de lados de determinado tipo de faces dividido por 2 é igual ao número de arestas que compões tais faces)

Logo:

3.12/2 = A1 (12 faces triangulares)

A1 = 18

5.z/2 = A2 (z faces pentagonais)

Porém como o número de arestas totais é igual ao triplo de faces pentagonais temos:

A = 3z e como A1 + A2 = A; temos 3.12/2 + 5z/2 = 3z

Logo: z = 36, A = 3z, então A = 108

A = 3z, usando V + F = A + 2 temos: V + 48 = 108 + 2

Logo V = 62