Question

um poliedro convexo possui quatro faces triangulares, 2 faces quadrangulares e uma face hexagonal. Determine o número de faces, arestas e vértices

Answer 1

Vamos então começar fazendo a contagem de faces:

$Total~de~Faces~(F)~=~4~Triangulares+2~Quadrangulares+1~Hexagonal\\\\\\\boxed{Total~de~Faces~(F)~=~7~faces}$

Agora podemos contar as arestas:

$Total~de~Arestas~(A)~=~\underset{faces~triangulares}{Arestas}+\underset{faces~quadrangulares}{Arestas}+\underset{faces~hexagonais}{Arestas}\\\\\\Total~de~Arestas~(A)~=~(4~.~3~arestas)+(2~.~4~arestas)+(1~.~6~arestas)\\\\\\Total~de~Arestas~(A)~=~(12~arestas)+(8~arestas)+(6~arestas)\\\\\\\boxed{Total~de~Arestas~(A)~=~26~arestas}$

Aqui, precisamos ter atenção! Note que, cada aresta é compartilhada por duas faces e, sendo assim, nossa contagem de 26 arestas está dobrada. O numero real de arestas é 13 (a metade de 26).

Por fim, para achar o numero de vértices, podemos utilizar a relação de Euler:

$V+F~=~A+2\\\\\\V+7~=~13+2\\\\\\V~=~13+2-7\\\\\\\boxed{V~=~8~vertices}$

Resposta: O poliedro possui 7 faces, 13 arestas e 8 vertices.