Question

Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Se esse poliedro tem 20 arestas e 10 vértices, determine o número de faces de cada tipo.

Answer 1

Nesta questão, vamos utilizar a relação de Euler e o método da adição para solução de sistemas de equação.

Com a informação do numero de vértices e numero de arestas, podemos utilizar a relação de Euler para determinar o numero total de faces (triangulares + quadrangulares).

$V~+~F~=~A~+~2\\\\\\10~+~F~=~20~+~2\\\\\\F~=~20~+~2~-~10\\\\\\\boxed{F~=~12}$

Se chamarmos de "T" as faces triangulares e de "Q" as quadrangulares, podemos montar uma equação para o total de faces do poliedro.

$\boxed{T~+~Q~=~12}~~~\rightarrow~Equacao~do~numero~de~faces$

Vamos precisar ainda de outra equação envolvendo estas duas incógnitas (T e Q) para que possam ser determinadas.

Perceba então que uma face triangular é formada por três arestas, já as quadrangulares, por quatro.

Teríamos então a equação para a quantidade de arestas dada por:

$3\cdot T~+~4\cdot Q~=~20$

No entanto, há um detalhe que precisa ser notado, se observarmos atentamente um poliedro, veremos que cada aresta é compartilhada por duas faces, ou seja, no lado esquerdo da equação colocada acima (3T+4Q), estamos contando duas vezes cada aresta.

Para contornar este "problema", podemos dividir por 2 o lado esquerdo e, assim, teremos a real equação para a quantidade de arestas.

$\dfrac{3T~+~4Q}{2}~=~20\\\\\\ou,~''passando''~o~2~multiplicando\\\\\\3T~+~4Q~=~20\cdot2\\\\\\\boxed{3T~+~4Q~=~40}~~~\rightarrow~Equacao~da~quantidade~de~arestas$

Temos então um sistema com duas equações e duas incógnitas.

Podemos utilizar qualquer método conhecido para sua solução, vou utilizar o método da adição.

$\left\{\begin{array}{ccc}T~+~Q&=&12\\\\3T~+~4Q&=&40\end{array}\right.\\\\\\2^aequacao~-~3\cdot1^aequacao\\\\\\(3T+4Q)~-~3\cdot(T+Q)~=~40-3\cdot12\\\\\\3T+4Q-3T-3Q~=~40-36\\\\\\\boxed{Q~=~4}\\\\\\Com~o~valor~de~Q,~podemos~achar~T\\\\\\T~+~Q~=~12\\\\\\T~+~4~=~12\\\\\\T~=~12-4\\\\\\\boxed{T~=~8}$

Resposta: O poliedro possui 8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares.

Answer 2

Resposta:O poliedro possui 8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares.