Question

Um poliedro convexo possuí apenas faces hexagonais e pentagonais, 60 arestas e 40 vértices. Quantas faces pentagonais possui esse poliedro? ​

Answer 1

Resposta:

12

Explicação passo a passo:

Pela relação de Euler,

V + F = A + 2

40 + F = 60 + 2

F = 22

Porém, o problema não pergunta a quantidade de faces totais e sim a quantidade de faces PENTAGONAIS apenas, lembre que o poliedro tem faces hexagonais e pentagonais.

Pra isso, temos que ir um pouco adiante e lembrar de outra relação, relativa à quantificação de faces:

$2.A = 5.F_{5} + 6.F_{6}$

F5 = quantidade de faces pentagonais

F6 = quantidade de faces hexagonais

Cada face possui um número de arestas iguais à quantidade de seus lados,  então o que estamos fazendo é multiplicando a quantidade de faces F5 e F6 por sua quantidade de lados. Com isso achamos o dobro de arestas (2.A), pois cada aresta está presente em 2 faces (está sendo "contada duas vezes").

Como sabemos o valor de A:

$2.60 = 5.F_{5} + 6.F_{6}\\120 = 5.F_{5} + 6.F_{6}$

Além disso, calculamos no início o total de faces como 22, ou seja:

$F_{5} + F_{6} = 22\\F_{6} = 22 - F_{5}$

Agora basta substituir essa segunda na primeira

$120 = 5.F_{5} + 6. (22-F_{5} )\\120 = 5.F_{5} + 132 - 6 F_{5}\\120 = -F_{5} + 132\\F_{5} = 12$