um poliedro convexo possui 14 faces e 12 vértices. Sabendo que suas faces são triangulares e quadrangulares, determine o número de faces de cada tipo.
Soluções para a tarefa
Vamos lá..
Vamos primeiro descobrir o total de faces de poliedro pela Relação de Euler:
V = Vértice
F = Faces
A = Arestas
V +F = A +2
12 +F = 24 +2
F = 26 -12
F = 14
Temos 14 faces, dentre elas triangulares e quadrangulares. Agora iremos criar um sistema baseado nesses dados:
- Uma face triangular possui 3 arestas
- Uma face quadrangular possui 4 arestas
- A soma das arestas triangulares e quadrangulares deve ser igual ao dobro de arestas do poliedro, pois quando usamos a fórmula para encontrar arestas dividimos por 2.
Chamando face triangular de T e face quadrangular de Q temos as seguintes equações:
I) 3T +4Q = 48
II) T +Q = 14
Resolvendo por adição iremos multiplicar a equação II) por -3 e somarmos com a primeira.
3T +4Q = 48
-3T -3Q = -42 +
Q = 6
Substituindo o valor de Q na equação II) tem-se:
T +Q = 14
T +6 = 14
T = 14 -6
T = 8
Portanto este poliedro convexo possui 8 faces triangulares.
Esta foi uma bela questão. Bons estudos!
Att. Wandeck