Matemática, perguntado por arthur969696, 4 meses atrás

Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o número de faces quadrangulares, sabendo-se que esse poliedro tem 48 arestas e 25 vértices, e que o nº de faces quadrangulares é o triplo do nº de faces triangulares.

Soluções para a tarefa

Respondido por eitoresparta
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Resposta:Resposta:Questão onde precisa-se saber a relação de Euler e resolver sistemas de equações.

i) Vamos, inicialmente, chamar de e o número de faces triangulares, quadrangulares e hexagonais desse poliedro, respectivamente; também usemos a notação usual para o número de faces, arestas e vértices ( e , respectivamente). A partir do que foi dito na questão temos que

e pela relação de Euler temos o seguinte:

Ao contarmos todas as faces triangulares, quadrangulares e hexagonais teremos contado todas as faces. Isso quer dizer que

ii) Um triângulo tem 3 lados, nenhuma novidade, um quadrilátero possui 4 lados e um hexágono, 6. Contando todos os lados de todas as faces do poliedro encontramos , então é de se esperar que essa expressão seja igual ao número de arestas do poliedro. Porém, como uma aresta é comum a duas faces, temos que aquela expressão vale, na verdade, . Trocando em miúdos e fazendo a substituição () teremos:

iii) Agora temos o seguinte sistema de equações:

Como queremos encontrar apenas o valor de é melhor que multipliquemos a primeira equação por -11 e a segunda por 3. O sistema fica, então:

Somando as duas equações encontramos

Explicação passo a passo:


arthur969696: qual é a resposta ?
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