Question

um poliedro convexo e formado por faces quadrangulares. a soma dos angulos de todas as faces e igual a 12 retos. qual o numero de arestas desses poliedro?

Answer 1

i) A gente sabe que uma aresta é comum a duas faces e que faces quadrangulares possuem quatro lados. Sendo assim, chamando de $F$ o número de faces, temos que o total de arestas de todas as $F$ faces vale $4F$, porém cada aresta é contada duas vezes, por conta do ponto que citei no começo da resolução. Isso quer dizer que:

$4F=2A \Rightarrow \boxed{A=2F}$

ii) Agora precisamos saber o número total de faces desse poliedro. Temos que a soma dos ângulos de todas as faces vale 12 retos, que é o mesmo que 12.90° = 1080°.
Como todas as faces são quadrangulares temos que a soma dos ângulos internos de todas elas é 360° e como o poliedro tem $F$ faces a soma dos ângulos internos de todas as faces vale $F.360\°$. Igualando as duas expressões teremos:

$1080\°=F.360\° \Rightarrow F=\frac{1080\°}{360\°}\Rightarrow \boxed{F=3}$

Agora que temos o valor de $F$ temos só que aplicá-lo na relação encontrada no início:

$A=2F\Rightarrow A=2.3 \\ \\ \boxed{\boxed{A=6}}$


Obs.: esse resultado vale apenas na teoria. Na verdade, não existe um poliedro com três faces. O número mínimo de faces de um poliedro é 4

Answer 2

Resposta:

8

Explicação passo-a-passo:

A. soma dos ângulos de todas as faces é igual a 12 retos"  

Reto é um ângulo de 90º.  

Soma dos ângulos=12x90º=1080º  

"é formado por faces quadrangulares e 4 faces triangulares"  

Já vamos descobrir quantos quadrados são.  

Como tem 4 faces triangulares,e cada triângulo tem como soma dos seus ângulos 180º,  

4x180º=720º  

Para a soma dar 1080º faltam 1080-720=360º  

Ora cada quadrado tem 4 ângulos retos. 4x90=360º  

Então 360º é um quadrado só  

Conclusão: este poliedro tem 4 faces triangulares e 1 quadrangular.  

"Qual o número de arestas desse poliedro?"  

Sabendo as faces como se acham as arestas?  

Cada triângulo tem 3 arestas,cada quadrado tem 4 arestas  

4 triângulos e 1 quadrado dá  

A=(4x3+1x4)/2 ( a dividir por 2 porque cada aresta serve duas faces)  

A=(12+4)/2=16/2=8  

O número de arestas é 8.  

Aquela fórmula para calculares as arestas é importante,vais necessitar dela muitas vezes em problemas com poliedros.  

Nunca te esqueças de dividir por 2 !!!