Question

Um poliedro convexo é constituído somente por faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. Sabe-se que o número de faces triangulares é igual ao número de faces quadrangulares mais dois e que o número de faces pentagonais é igual ao número de faces quadrangulares menos dois. Além disso, o número de vértices é o quádruplo do número de faces pentagonais. Determine a soma do número de vértices, de faces e de arestas deste poliedro. ​

Answer 1

A soma do número de vértices, de faces e de arestas deste poliedro é igual a 94.

Vamos considerar que:

F3 = faces triangulares

F4 = faces quadrangulares

F5 = faces pentagonais.

Então, a quantidade de faces é igual a F = F3 + F4 + F5.

De acordo com o enunciado, temos que:

F3 = F4 + 2

F5 = F4 - 2

V = 4F5.

Sendo assim,

V = 4(F4 - 2)

V = 4F4 - 8

e

F = F4 + 2 + F4 + F4 - 2

F = 3F4.

A quantidade de arestas é calculada da seguinte maneira:

2A = 3.F3 + 4.F4 + 5.F5

2A = 3(F4 + 2) + 4F4 + 5(F4 - 2)

2A = 3F4 + 6 + 4F4 + 5F4 - 10

2A = 12F4 - 4

A = 6F4 - 2.

Pela Relação de Euler, temos que V + F = A + 2. Logo,

4F4 - 8 + 3F4 = 6F4 - 2 + 2

7F4 - 8 = 6F4

F4 = 8.

Assim,

F = 24

V = 24

A = 46.

A soma é igual a: 24 + 24 + 46 = 94.