Question

Um poliedro convexo é constituído por três faces

triangulares, cinco quadrangulares e sete

pentagonais. Quantas arestas possui esse poliedro?

Answer 1

Seja $F_n$ o número de faces com n lados. Calculando a soma (S) de todas as arestas que cada face possui:

$S=3\cdot F_3+4\cdot F_4+5\cdot F_5\\\\ S=3\cdot 3+4\cdot5+5\cdot 7\\\\ S=9+20+35\\\\ S=64$

Como cada aresta é compartilhada por duas faces distintas, cada aresta do poliedro foi contada duas vezes no cálculo de S. Portanto, S representa o dobro da soma de todas as arestas do poliedro. Assim, se A é o número de arestas do sólido, temos que $S=2A$. Logo, calculando o número de arestas do poliedro:

$S=2A\\\\ 64=2A\\\\ A=\dfrac{64}{2}\\\\ \boxed{A=32}$