Um poliedro convexo de 33 arestas possui faces
triangulares e hexagonais. Sendo 6840° a soma dos
ângulos internos das faces, calcule o número de
faces triangulares e hexagonais.
Soluções para a tarefa
Existem 6 faces triangulares e 8 faces hexagonais.
Vamos considerar que:
- F3 = quantidade de faces triangulares
- F6 = quantidade de faces hexagonais.
Sendo assim, o total de faces é igual a F = F3 + F6.
De acordo com o enunciado, o poliedro possui 33 arestas. Ou seja:
33.2 = 3.F3 + 6.F6
66 = 3.F3 + 6.F6
F3 + 2.F6 = 22.
Além disso, temos a informação de que a soma dos ângulos internos das faces é igual a 6840º.
A soma dos ângulos internos das faces de um poliedro é igual a S = 360(V - 2).
Logo:
6840 = 360(V - 2)
19 = V - 2
V = 19 + 2
V = 21.
A Relação de Euler nos diz que V + F = A + 2. Sendo assim:
21 + F = 33 + 2
F = 35 - 21
F = 14.
Ou seja, F3 + F6 = 14.
De F3 + 2.F6 = 22, podemos dizer que F3 = 22 - 2.F6. Substituindo o valor de F3 em F3 + F6 = 14:
22 - 2.F6 + F6 = 14
-F6 = -8
F6 = 8.
Portanto, o valor de F3 é:
F3 + 8 = 14
F3 = 14 - 8
F3 = 6.