Question

Um poliedro convexo de 28 arestas possui apenas faces triangulares e heptagonais . Quantas faces tem, respectivamente, de cada espécie se a quantidade de vértices é 18?

Answer 1

Existem 7 faces triangulares e 5 faces heptagonais.

Vamos considerar que:

• A = quantidade de arestas
• F = quantidade de faces
• V = quantidade de vértices.

De acordo com o enunciado, o poliedro convexo possui 28 arestas. Ou seja, A = 28. Também temos a informação de que a quantidade de vértices é igual a 18. Logo, V = 18.

Como as faces são triangulares e heptagonais, então podemos dizer que:

2.28 = 3.F₃ + 7.F₇

3F₃ + 7F₇ = 56.

A quantidade de faces é igual a F = F₃ + F₇.

De 3F₃ + 7F₇ = 56, podemos dizer que:

3F₃ = 56 - 7F₇

F₃ = (56 - 7F₇)/3.

Logo, a quantidade de faces é igual a:

F = (56 - 7F₇)/3 + F₇

F = (56 - 4F₇)/3.

A relação de Euler nos diz que:

• V + F = A + 2.

Sendo assim:

18 + (56 - 4F₇)/3 = 28 + 2

54 + 56 - 4F₇ = 90

4F₇ = 20

F₇ = 5.

Consequentemente:

F₃ = (56 - 7.5)/3

F₃ = 21/3

F₃ = 7.