UM POLIEDRO CONVEXO DE 20 ARESTAS E 10 VERTICES SO POSSUI FACES TRIANGULARES E QUADRANGULARES. DETERMINE QUANTAS FACES TRIANGULARES E QUADRANGULARES ELE POSSUI.
Soluções para a tarefa
V + F = A + 2
10+ F = 20 + 2
10 + F = 22
F = 22-10
F = 12 faces
t ---> faces triangulares
q---> faces quadradas
Armamos um Sistema:
{ t + q = 12 ---> t = 12 - q (substitui na outra equação
{3t + 4q = 40 ( as arestas são contadas de 2 em 2 --> 20.2=40)
3(12 - q) + 4q = 40
36 - 3q + 4q = 40
q = 40 - 36 ---> q = 4 faces quadradas
t = 12 - q --> t = 12 - 4 --> t = 8 faces triangulares
O poliedro tem 8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares
Relação de Euler
A relação de Euler é usada para determinar o número de vértices, arestas ou faces de um poliedro convexo.
A fórmula utilizada é a seguinte:
- V - A + F = 2
Em que:
- V = número de vértices
- A = número de arestas
- F = número de faces
Quando temos dois valores conhecidos, podemos encontrar o que falta através da relação de Euler, e é isso que vamos fazer com essa questão.
Vamos separar as informações disponibilizadas
- Faces triangulares = ?
- Faces quadragulares = ?
- Arestas = 20
- Vértices = 10
Primeiro vamos calcular o número de faces totais:
V - A + F = 2
- 10 - 20 + F = 2
- F = 10 + 2
- F = 12
Chamando:
- T = triangular
- Q = quadrangular
Vamos montar o seguinte sistema:
- { t + q = 12
- { 3t + 4q = 40
Vamos isolar o T na primeira equação:
- { t = 12 - q
- { 3t + 4q = 40
Substituindo a primeira equação na segunda, fica:
3 * (12 - q) + 4q = 40
36 - 3q + 4q = 40
q = 40 - 36
q = 4
Agora vamos achar o valor de T:
t = 12 - q
t = 12 - 4
t = 8
Com isso, achamos que:
- Faces triangulares = 8
- Faces quadrangulares = 4
Aprenda mais sobre Relação de Euler em: brainly.com.br/tarefa/48573364
