Question

UM POLIEDRO CONVEXO DE 20 ARESTAS E 10 VERTICES SO POSSUI FACES TRIANGULARES E QUADRANGULARES. DETERMINE QUANTAS FACES TRIANGULARES E QUADRANGULARES ELE POSSUI.

Answer 1

$\mathrm{A=20\ \ \|\ \ V=10}\\ \mathrm{*\ x\ faces\ triangulares\ e\ y\ faces\ quadrangulares.}\\\\ \textbf{Pela rela\c{c}\~ao de Euler, vem:}\\\\ \mathrm{V+F=A+2\ \to\ 10+F=20+2}\\ \mathrm{F=22-10\ \to\ F=12\ \to\ \boxed{\mathbf{x+y=12}}\ \mathbf{(I)}}\\\\ \textbf{Pela rela\c{c}\~ao das Arestas, vem:}\\\\ \mathrm{A=\dfrac{x.n_x+y.n_y}{2}\ \to\ 20=\dfrac{x.3+y.4}{2} \to\ \boxed{\mathbf{3x+4y=40}}\ \mathbf{(II)}}$

$\textbf{Somando\ II\ com\ (-3).I, vem:}\\\\ \mathrm{3x+4y-3x-3y=40-36\ \to\ \boxed{\mathrm{y=4}}}\\\\ \textbf{Substituindo o valor de y em I:}\\\\ \mathrm{x+y=12\ \to\ x+4=12\ \to\ \boxed{\mathrm{x=8}}}\\\\ \boxed{\boxed{\textbf{8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares}}}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

Relação de Euler - Exercício 4 #6.5

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  Relação de Euler: V + F = A + 2

  e

  A = (nº total de arestas das faces):2

Link do vídeo: https://youtu.be/HUpYlNSlsSY