Question

Um poliedro convexo de 13 faces e 11 vértices possui apenas faces quadrangulares e triangulares. Quantas faces possui de cada tipo?

Answer 1

O poliedro possui 8 faces triangulares e 5 faces quadrangulares.

A Relação de Euler nos diz que V + F = A + 2.

Como o poliedro possui 13 faces e 11 vértices, então a quantidade de arestas é igual a:

11 + 13 = A + 2

24 = A + 2

A = 22.

O poliedro possui apenas faces quadrangulares e triangulares. Vamos considerar que:

• F3 = quantidade de faces triangulares
• F4 = quantidade de faces quadrangulares.

Se a quantidade de faces é igual a 13, então: F3 + F4 = 13.

Podemos calcular a quantidade de arestas da seguinte maneira:

2A = 3.F3 + 4.F4

Sendo A = 22 e F3 = 13 - F4:

2.22 = 3(13 - F4) + 4.F4

44 = 39 - 3F4 + 4F4

F4 = 5.

Consequentemente,

F3 = 13 - 5

F3 = 8.