Question

Um poliedro convexo composto somente de faces quadrangulares e triangulares tem 15 faces e 3600 graus como soma dos ângulos internos de todas as faces.Determine quantas faces de cada tipo esse poliedro apresenta.

Answer 1

Pense que 1 quadrado tem 360º de ângulo interno, logo 10 quadrados fecham 3600º, mas tem 15 e não 10 faces, então tira um quadrado e coloca 2 triângulos(180° • 2 = 360º) e vc tem 10-1+2, ou seja, 11 faces , tire outro quadrado e adicione mais 2 triângulos e vc tem 12 faces, no final vc vai ter retirado 5 quadrados e adicionado 10 triângulos, sendo assim o poliedro possui 5 quadrados e 10 triângulos. Espero ter ajudado.

Answer 2

O poliedro apresenta:

5 faces quadrangulares

10 faces triangulares

Como é dado o valor da soma dos ângulos internos de todas as faces, podemos calcular o número de vértices.

A fórmula é:

S = (V - 2)·360°

Sabemos que S = 3600°. Logo:

3600° = (V - 2)·360°

V - 2 = 3600

            360

V - 2 = 10

V = 10 + 2

V = 12

Agora, podemos usar a relação de Euler:

F + V = A + 2

15 + 12 = A + 2

27 = A + 2

A = 25

Se o poliedro convexo possui 25 arestas, significa que no total das faces há 50 arestas.

4 arestas vezes x faces quadrangulares = 4x arestas.

3 arestas vezes y faces triangulares = 5y arestas.

Logo, temos:

4x + 3y = 50

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.  

Logo:

360x + 180y = 3600°

Simplificando, fica:

2x + y = 20

Fazemos um sistema de equações:

{4x + 3y = 50

{2x + y = 20  ---> ·(-3)

{4x + 3y = 50

{-6x - 3y = - 60  +

- 2x = - 10

2x = 10

x = 10/2

x = 5

2x + y = 20

2.5 + y = 20

10 + y = 20

y = 20 - 10

y = 10