Question

Um poliedro convexo composto de 12 faces pen-
tagonais e 20 faces hexagonais foi confeccionado
inspirado numa bola de futebol. Determine o
número de arestas e o número de vértices desse
poliedro.

preciso do cálculo ​

Answer 1

Lembrando, uma face hexagonal possui 6 arestas e uma face pentagonal, 5 arestas.

Vamos então começar com a contagem de faces:

$Total~de~Faces~=~12~faces~Pentagonais~+~20~faces~Hexagonais\\\\\\\boxed{Total~de~Faces~=~32~faces}$

Podemos agora determinar o numero de arestas:

$Total~de~Arestas\,'~=~Arestas_{Faces\,Pent}~+~Arestas_{Faces\,Hex}\\\\\\Total~de~Arestas\,'~=~12\times5~+~20\times 6\\\\\\Total~de~Arestas\,'~=~60~+~120\\\\\\\boxed{Total~de~Arestas\,'~=~180~arestas}$

Note, no entanto, que esse numero de arestas está incorreto. Em um poliedro, toda aresta é compartilhada por 2 faces, ou seja, quando fazemos a contagem das arestas por intermédio do numero de faces, estamos contando cada aresta 2 vezes cada aresta.

Para contornar este problema, basta dividirmos o numero encontrado por 2.

$Total~de~Arestas~=~\frac{Total~de~Arestas\,'}{2}\\\\\\Total~de~Arestas~=~\frac{180}{2}\\\\\\\boxed{Total~de~Arestas~=~90~arestas}$

Por fim, para achar o numero de vértices, podemos aplicar a relação de Euler:

$V+F~=~A+2\\\\\\V+32~=~90+2\\\\\\V+32~=~92\\\\\\V~=~92-32\\\\\\\boxed{V~=~60~vertices}$