Question

Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160º. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas.

Answer 1

Resposta:

Faces quadrangulares 3.

Faces triangulares 6.

Explicação passo-a-passo:

S = (V – 2). 360° é a fórmula para a soma dos ângulos das faces.

Como sabemos o valor, podemos encontrar o número de vértices.

(V – 2). 360° = 2160°

(V – 2) = 2160°/360° = 6

V = 6+2 = 8

O poliedro tem 8 vértices.

Sabemos que ele tem 15 arestas.

Usando a relação de Euler, podemos encontrar o número de faces.

V + F = 2 + A

8 + F = 2 + 15

F = 17 - 8

F = 9

Vamos chamar o número de faces quadrangulares de q e de triangulares de t.

Sabemos que q + t = 9

Sabemos também que 4q+3t=2x15 que é outra forma de contarmos o dobro das arestas.

Temos um sistema de equações

$\left \{ {{q+t=9} \atop {4q+3t=30}} \right.$

Podemos multiplicar a primeira equação por -3 e depois somar com a segunda.

Temos

(-3q-3t=-27) + (4q+3t=30)

4q-3q + 3t-3t=30-27

q = 3

Como q = 3 e q + t = 9, então

t = 6.