Question

Um plano paralelo à face BCD de um tetraedro regular ABCD, cujas arestas medem 12 raiz de 2cm de comprimento, determina sobre as arestas AB, AC e AD os pontos X, Y e Z, respectivamente. Se o plano XYZ está 2 raiz de 3 centímetros distante do plano BCD, o volume do tetraedro AXYZ, em cm3, é

A
144

B
192

C
216

D
243

E
288

Answer 1

O volume do tetraedro AXYZ, em cm², é 243.

De acordo com o enunciado, a medida da aresta do tetraedro ABCD é igual a 12√2 cm.

A altura de um tetraedro pode ser calculada por $h=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Portanto, a altura do tetraedro ABCD é igual a:

$h=\frac{12\sqrt{2}.\sqrt{6}}{3}$

h = 4√12

h = 4.2√3

h = 8√3 cm.

Como a distância entre os planos XYZ e BCD é igual a 2√3 cm, então podemos afirmar que a altura do tetraedro AXYZ é igual a 8√3 - 2√3 = 6√3 cm.

O volume de um tetraedro é igual a um terço do produto da área da base pela altura. Logo, o volume do tetraedro ABCD é igual a:

$V=\frac{1}{3}\frac{(12\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}.8\sqrt{3}$

V = 288.2

V = 576 cm³.

Considere que v é o volume do tetraedro AXYZ. É verdade que:

$\frac{v}{576}=(\frac{6\sqrt{3}}{8\sqrt{3}})^3$

$\frac{v}{576}=\frac{27}{64}$

$v=\frac{15552}{64}$

v = 243 cm³.

Alternativa correta: letra d).