Question

Um planeta hipotético, tem uma massa de 5,0 × 10 23 kg, um raio de 3,0 × 106 m e nenhuma

atmosfera. Uma sonda espacial de 10 kg deve ser lançada verticalmente a partir da superfície. (a) Se a sonda for lançada com uma energia inicial de 5,0 × 107 J, qual será a energia cinética da sonda quando ela estiver a 4,0 × 106 m do centro de Zero? (b) Com que energia cinética a sonda deverá ser lançada para atingir uma distância máxima de 8,0 × 106 m em relação ao centro de Zero?



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Answer 1

• Massa do planeta (M) = 5.10²³ Kg ; Raio do planeta = 3.10⁶ m ; Massa da sonda (m) = 10kg

• Lei da Gravitação universal: F = G.M.m/d²

⇒ m.g = G.M.m/d² ⇒ g(gravidade local)= G.M/d² (G = 6,67.10⁻¹¹)

• Emecânica = Ecinética + Epotencial gravitacional

Em é conservada (Em₀ = Emf)

a)

Tomando a superfície do planeta como referencial, temos:

Ec₀ = 5.10⁷ J

Em₀ = 5.10⁷ + m.g.h

Em₀ = 5.10⁷ + 10.g.0

Em₀ = 5.10⁷J = Emf

Uma parte da energia cinética foi convertida em energia potencial gravitacional. Dessa forma, a sonda possui Ec e Epg simultaneamente, que somadas são iguais à Em)

Em = Ec + Epg

5.10⁷ = Ec + 10.g.(4.10⁶-3.10⁶)

Ec = 5.10⁷ - 1.10⁷.g

g = 6,67.10⁻¹¹.5.10²³/(4.10⁶)²

g ≅ 2,08 m/s²

Ec = 5.10⁷ - 1.10⁷.2,08

Ec ≅ 2,92.10⁷ J

b)

Mesmo referencial da alternativa anterior (superfície)

Para atingir a distância máxima, a sonda deve converter toda sua energia cinética em energia potencial gravitacional. Consequentemente, entrará em repouso. No início do movimento temos Em₀ = Ec (pois Epg = 0). No final, temos Emf = Epg (pois Ec = 0)

Como Em₀ = Emf, temos Ec = Epg

Ec = m.g.h

Ec = 10.g.(8.10⁶-3.10⁶)

Ec = 5.10⁷.g

g = GM/d² ⇒ g = 6,67.10⁻¹¹.5.10²³/(8.10⁶)²

g = 0,52 m/s²

Ec = 5.10⁷.0,52

Ec ≅ 2,6.10⁷ J